数学公式与排版约定

本站讲义使用 KaTeX 渲染数学公式，与 Obsidian 中的书写方式完全一致： 行内公式用 $...$，独立成行的公式用 $$...$$。 本页把常用公式类型集中列出，也作为公式渲染的自检页。

一、分式与根式

行内分式 $\frac{a+b}{c-d}$ 会与中文自然对齐；复杂分式独立成行：

$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + \frac{x^{n+1}}{1-x}, \qquad |x| < 1$$

$$\sqrt[n]{\frac{x^{n}+y^{n}}{2}} \ge \frac{x+y}{2} \qquad (x, y > 0,\ n \in \mathbb{N}^{*})$$

二、求和、连乘与组合数

$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \qquad \sum_{k=1}^{n} k^{3} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$$

$$(1+x)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k}, \qquad \prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{k}\right) = n+1$$

三、极限与连续

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} = \mathrm{e}$$

四、导数与微分

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}, \qquad \bigl(f(g(x))\bigr)' = f'\bigl(g(x)\bigr) \cdot g'(x)$$

五、泰勒展开

$$\mathrm{e}^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \cdots$$

$$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!} x^{2n+1}, \qquad \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n}$$

$$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n} = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \cdots, \qquad -1 < x \le 1$$

六、不等式与取整

$$\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \ \ge\ \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \qquad (x_i > 0)$$

$$\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1$$

七、矩阵与分段函数

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}$$

$$|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$

八、书写约定

约定	写法	说明
行内公式	$a^2+b^2=c^2$	与正文同行，注意 $ 与文字之间不要留空格
独立公式	前后各空一行，用 $$ ... $$ 包裹	居中显示，长公式可横向滚动
数集符号	\mathbb{R}、\mathbb{N}、\mathbb{Z}	简写宏 \RR \NN \ZZ 也可用
文本中的中文	\text{其中 } x>0	公式内写中文必须用 \text{} 包裹
多行对齐	用 aligned 环境	以 & 对齐等号
单位与文字	\mathrm{d}x、\mathrm{e}	正体字母表示算子与常数

公式报错怎么办

若某个公式显示为红色或原样输出，通常是 LaTeX 语法笔误（例如少了一个 }、 \frac 只写了一个参数）。修正后重新执行 npm run build 即可， 单条公式的错误不会中断整站构建。